Изучение эмерджентных уравнений в частных производных в изученном эмерджентном пространстве

Dec 20, 2023

Nature Communications, том 13, номер статьи: 3318 (2022) Цитировать эту статью

3496 Доступов

6 цитат

1 Альтметрика

Подробности о метриках

Мы предлагаем подход к изучению эффективных уравнений эволюции для больших систем взаимодействующих агентов. Это продемонстрировано на двух примерах: хорошо изученной системе связанных осцилляторов нормальной формы и биологически мотивированном примере связанных нейронов типа Ходжкина-Хаксли. Для таких типов систем не существует очевидной пространственной координаты, в которой можно было бы изучить эффективные законы эволюции в форме уравнений в частных производных. В нашем подходе мы достигаем этого, изучая встраивание координат из данных временных рядов системы, используя в качестве первого шага обучение многообразию. Затем в этих возникающих координатах мы покажем, как можно изучить эффективные уравнения в частных производных, используя нейронные сети, которые не только воспроизводят динамику ансамбля осцилляторов, но также фиксируют коллективные бифуркации при изменении параметров системы. Таким образом, предлагаемый подход объединяет автоматическое, управляемое данными извлечение возникающих пространственных координат, параметризирующих динамику агента, с идентификацией возникающего PDE-описания динамики в этой параметризации с помощью машинного обучения.

Моделирование динамического поведения больших систем взаимодействующих агентов остается сложной проблемой анализа сложных систем. Из-за большого размера пространства состояний таких систем исторически постоянной целью исследований было создание полезных моделей пониженного порядка, с помощью которых можно было бы коллективно описывать крупнозернистую динамику ансамблей агентов. Такие грубые коллективные описания возникают во многих контекстах, например, в термодинамике, где взаимодействующие частицы могут эффективно описываться на макроскопическом уровне с помощью температуры, давления и плотности; или в кинетической теории, где столкновения в уравнении Больцмана могут привести к описаниям континуума, таким как уравнения Навье-Стокса, а также в таких контекстах, как хемотаксис или гранулярные потоки. Одной из важных задач в этом крупнозернистом анализе является поиск крупнозернистых наблюдаемых (полей плотности, полей импульса, полей концентрации, полей доли пустот), которые описывают эволюцию коллективного поведения в физическом пространстве. Макроскопические эффективные модели затем часто аппроксимируются как уравнения в частных производных (ЧДУ) для этих полей: их производные по времени выражаются локально через локальные пространственные производные поля (полей) в каждой точке. Замыкания, необходимые для построения прогнозных моделей, могут быть получены либо математически (с соответствующими предположениями), либо полуэмпирически посредством экспериментальных или вычислительных наблюдений.

Когда взаимодействующие агенты представляют собой связанные системы осцилляторов, их наблюдаемую низкоразмерную динамику иногда можно описать как сосредоточенную систему нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в терминах так называемых параметров порядка1,2,3. Для больших гетерогенных систем взаимодействующих осцилляторов мы наблюдаем в любой данный момент распределение состояний осцилляторов; возможность полезно описать эту эволюцию с помощью нескольких ОДУ для соответствующих параметров порядка концептуально соответствует описанию эволюции распределения через конечный, замкнутый набор из нескольких моментных уравнений для распределения. Немногие параметры хорошего порядка здесь обеспечиваются несколькими ведущими моментами, в терминах которых может быть записан замкнутый набор модельных ОДУ (или даже стохастических дифференциальных уравнений). И хотя в некоторых случаях такое сокращенное описание может быть весьма успешным, есть и другие случаи, когда нескольких ОДУ будет недостаточно и когда необходимо написать уравнения эволюции (например, УЧП) для развивающихся полей мгновенного поведения осцилляторов ( с).

Тогда естественным образом возникает вопрос: каков хороший способ параметризации пространственной поддержки этого развивающегося распределения поведения? Какие (и сколько) являются теми немногими независимыми пространственными переменными, в пространстве которых мы попытаемся вывести эволюционные модели PDE для эволюции коллективного поведения? Другими словами, когда проблема не развивается в физическом пространстве (например, когда осцилляторы являются узлами во взаимодействующей сети), существует ли полезное пространство встраивания континуума, в котором мы можем наблюдать, как поведение развивается как пространственно-временное поле? И если да, то как мы можем обнаружить это возникающее пространство и его параметризующие независимые координаты на основе данных, основываясь на наблюдениях за совокупностью динамики отдельных связанных агентов? Таким образом, наша задача состоит из двух компонентов, оба из которых выполняются на основе данных: (а) найти возникающие пространственные координаты, в которых поведение осциллятора можно (встроить и) наблюдать как плавную пространственно-временную эволюцию поля; и (б) как только эти возникающие координаты будут получены, изучить модель развивающейся динамики, если возможно, в форме уравнения в частных производных, управляющего этим полем; то есть аппроксимировать (поточечную) производную(ые) по времени поля(ий) через несколько локальных пространственных производных поля в возникающих независимых переменных.